Trīs mainīga lineārā vienādojuma sistēma un risinājuma metode

Arhitektūrā ēku celtniecībai ir matemātiski aprēķini, no kuriem viens ir lineāro vienādojumu sistēma. Lineāro vienādojumu sistēma ir noderīga, lai noteiktu krustošanās punktu koordinātas. Pareizas koordinātas ir būtiskas, lai izveidotu ēku, kas atbilst skicei. Šajā rakstā mēs apspriedīsim trīs mainīgo lineāro vienādojumu sistēmu (SPLTV).

Trīs mainīgo lineāro vienādojumu sistēma sastāv no vairākiem lineāriem vienādojumiem ar trim mainīgajiem. Trīs mainīgo lineārā vienādojuma vispārīgā forma ir šāda.

cirvis + ar + cz = d

a, b, c un d ir reāli skaitļi, bet a, b un c visi nevar būt 0. Vienādojumam ir daudz risinājumu. Vienu risinājumu var iegūt, pielīdzinot jebkuru vērtību diviem mainīgajiem, lai noteiktu trešā mainīgā lielumu.

Vērtība (x, y, z) ir trīs mainīgo lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu kopums, ja vērtība (x, y, z) atbilst trim SPLTV vienādojumiem. SPLTV norēķinu kopu var noteikt divos veidos, proti, aizstāšanas metodi un eliminācijas metodi.

Aizstāšanas metode

Aizstāšanas metode ir lineāru vienādojumu sistēmu risināšanas metode, aizstājot viena mainīgā vērtību no viena vienādojuma uz citu. Šo metodi veic, līdz visu mainīgo vērtības tiek iegūtas trīs mainīgo lineāro vienādojumu sistēmā.

(Lasiet arī: Divu mainīgo lineāro vienādojumu sistēma)

Aizstāšanas metodi ir vieglāk izmantot SPLTV, kas satur vienādojumus ar koeficientu 0 vai 1. Šeit ir norādītas darbības aizstāšanas metodes atrisināšanai.

  1. Atrodiet vienādojumu, kuram ir vienkāršas formas. Vienkāršotajiem vienādojumiem koeficients ir 1 vai 0.
  2. Izteikt vienu mainīgo pārējo divu mainīgo formā. Piemēram, mainīgo x izsaka ar y vai z.
  3. Otrajā posmā iegūtās mainīgās vērtības aizstāj ar citiem SPLTV vienādojumiem, lai iegūtu divu mainīgo lineāro vienādojumu sistēmu (SPLDV).
  4. Nosakiet SPLDV norēķinu, kas iegūts trešajā solī.
  5. Nosakiet visu nezināmo mainīgo lielumus.

Darīsim šādu problēmu piemēru. Atrodiet risinājumu kopu šādai trīs mainīgo lineāro vienādojumu sistēmai.

x + y + z = -6… (1)

x - 2y + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Pirmkārt, mēs varam pārveidot vienādojumu (1) uz z = -x - y - 6 vienādojumā (4). Tad vienādojumu (4) varam aizstāt ar (2) vienādojumu šādi.

x - 2y + z = 3

x - 2y + (-x - y - 6) = 3

x - 2y - x - y - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Pēc tam (4) vienādojumu varam aizstāt ar (3) vienādojumu šādi.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Mēs esam ieguvuši vērtības x = -5 un y = -3. Mēs varam to ievietot vienādojumā (4), lai iegūtu z vērtību šādi.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3 - 6

z = 2

Tātad, mums ir risinājumu kopums (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Eliminācijas metode

Eliminācijas metode ir lineāru vienādojumu sistēmu risināšanas metode, izslēdzot vienu no mainīgajiem lielumiem divos vienādojumos. Šo metodi veic, līdz paliek tikai viens mainīgais.

Eliminācijas metodi var izmantot visās trīs mainīgo lineāro vienādojumu sistēmās. Bet šai metodei ir nepieciešams ilgs solis, jo katrs solis var novērst tikai vienu mainīgo. Lai noteiktu SPLTV norēķinu kopu, ir nepieciešamas vismaz 3 eliminācijas metodes. Šī metode ir vieglāka, ja to apvieno ar aizstāšanas metodi.

Pabeigšanas darbības, izmantojot eliminācijas metodi, ir šādas.

  1. Ievērojiet trīs līdzības SPLTV. Ja diviem vienādojumiem ir viens un tas pats mainīgais koeficients, atņemiet vai saskaitiet abus vienādojumus tā, lai mainīgajam būtu koeficients 0.
  2. Ja nevienam mainīgajam nav vienāda koeficienta, reiziniet abus vienādojumus ar skaitli, kas mainīgā koeficientu abos vienādojumos padara vienādu. Atņemiet vai saskaitiet abus vienādojumus, lai mainīgā koeficients būtu 0.
  3. Atkārtojiet 2. darbību citiem vienādojumu pāriem. Šajā solī izlaistajam mainīgajam jābūt tādam pašam kā mainīgajam, kas izlaists 2. solī.
  4. Pēc divu jaunu vienādojumu iegūšanas iepriekšējā posmā, izmantojot divu mainīgo lineāro vienādojumu sistēmas (SPLDV) risinājumu metodi, nosakiet divu vienādojumu risinājumu kopumu.
  5. Aizstājiet 4. solī iegūto divu mainīgo vērtību vienā no SPLTV vienādojumiem tā, lai tiktu iegūta trešā mainīgā vērtība.

Mēs mēģināsim izmantot eliminācijas metodi šādā problēmā. Nosakiet SPLTV risinājumu kopumu!

2x + 3y - z = 20… (1)

3x + 2y + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

SPLTV var noteikt risinājumu kopu, izslēdzot mainīgo z. Vispirms pievienojiet (1) un (2) vienādojumus, lai iegūtu:

2x + 3y - z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5g = 40

x + y = 8 ... (4)

Tad reiziniet 2 vienādojumā (2) un reiziniet 1 vienādojumā (1), lai iegūtu:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

Pēc x vērtības uzzināšanas aizstājiet to ar (4) vienādojumu šādi.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

X un y vērtības aizstāj (2) vienādojumā šādi.

3x + 2y + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Tā, lai SPLTV risinājumu kopa (x, y, z) būtu (5, 3, -1).