Matemātiskā loģika, no negācijas līdz biimplikācijai

Matemātiskā loģika ir loģikas un matemātikas nozare, kas satur loģikas matemātiskus pētījumus un šī pētījuma pielietošanu citās jomās ārpus matemātikas. Matemātiskā loģika ir cieši saistīta ar datorzinātnēm un filozofisko loģiku, un galvenās tēmas ir formālās loģikas izteiksmes spēks un formālo pierādījumu sistēmu deduktīvais spēks. Matemātiskā loģika bieži tiek sadalīta nozarēs no kopu teorijas, modeļu teorijas, rekursijas teorijas, pierādījumu teorijas un konstruktīvās matemātikas. Šiem laukiem ir vieni un tie paši loģikas rezultāti.

Paziņojums, apgalvojums

Matemātiskajā loģikā mēs iemācīsimies noteikt apgalvojuma vērtību. Pats apgalvojums ir teikums, kuram noteikti ir patiesa vērtība vai zināma nepatiesa vērtība, bet ne abi.

Slēgts paziņojums un atklāts paziņojums

Pēc tam paziņojumus iedala divos veidos: slēgtos izteikumos (slēgtie teikumi) un atklātajos izteikumos (atklātie teikumi) . Slēgts paziņojums ir paziņojums, kura patiesības vērtība ir noteikta, savukārt atklātais apgalvojums ir apgalvojums, kura patiesības vērtība ir neskaidra.

Pārskatu piemēri:

  • 9 ir nepāra skaitlis >> šis apgalvojums ir patiess
  • Džakarta ir Indijas galvaspilsēta >> šis apgalvojums ir nepatiess

Matemātiskajā loģikā apgalvojumus attēlo burti p, q vai r.

Atklāts teikums ir matemātisks teikums, kam nav patiesības vērtības. Šajā teikumā vienmēr ir mainīgie.

Atklātu teikumu piemēri:

  • A ir pazīstama kā lietus pilsēta
  • Ata neiet uz skolu slimības dēļ

Atšķirībā no slēgtajiem teikumiem, kur var noskaidrot patiesības vērtību, atklātie teikumi, patiesi un nepatiesi, joprojām ir apšaubāmi. Tāpēc šo teikumu nevar teikt kā paziņojumu.

Atklātu teikumu var pārvērst par paziņojumu, ja mainīgos teikumā aizstāj ar vērtību, lai teikumam būtu patiesības vērtība.

Piemērs:

Pazīstama kā lietus pilsēta ir atklāts teikums, turpretī

Bogors ir pazīstams kā lietus pilsēta

Negācija

Pēc sapratnes, kas ir apgalvojums un kas ir atklāts teikums, nākamais solis ir apspriest negācijas.

Negācija vai arī dēvēta par negāciju / noliegšanu ir apgalvojums, kas noliedz to, kas tiek dots. Paziņojumu atmiņu var izveidot, noraidītā apgalvojuma priekšā pievienojot “Nav taisnība, ka ...”. To apzīmē ar ~.

Sakiet, ka p ir taisnība, tad ~ p ir nepatiesa. Un otrādi, ja p ir nepatiesa, tad ~ p ir taisnība.

Paziņojuma noliegšanas piemērs:

  1. Džakarta ir Malaizijas galvaspilsēta

    Džakarta nav Malaizijas galvaspilsēta

  2. 9 ir nepāra skaitlis

    9 nav nepāra skaitlis

Salikti paziņojumi

Pēc tam paziņojums tiek sadalīts saliktajos paziņojumos, kas šajā gadījumā ir sadalīti vairākos veidos:

  1. Savienojums
  2. Disjunkcija
  3. Ietekme
  4. Biimplikācija

1. Saistības

Saistība , ko apzīmē ar (Ʌ), ir salikts apgalvojums ar saikni "un". Tā būs taisnība, ja mainīgie būs patiesi, un nepatiesa, ja viens no mainīgajiem būs nepatiess.

Piemērs:

p: Džakarta ir pasaules galvaspilsēta (paziņojums ar patiesu vērtību)

q: Džakarta ir metropoles pilsēta (paziņojums ar patiesu vērtību)

p ^ q: Džakarta ir pasaules galvaspilsēta un metropoles pilsēta (paziņojums ar patiesām vērtībām)

2. Disjunkcija

Disjunkcija , ko apzīmē ar (V), ir saliktais apgalvojums, kas tiek veidots, apvienojot divus atsevišķus apgalvojumus, izmantojot saikni "vai". Disjunkcija ir patiesa, ja viens no apgalvojumiem ir patiess un nepatiess, ja abi apgalvojumi ir nepatiesi.

Piemērs:

p: Džakarta ir pasaules galvaspilsēta (paziņojums ar patiesu vērtību)

q: Džakarta ir studentu pilsēta (apgalvojums ar nepatiesu vērtību)

pVq: Džakarta ir pasaules galvaspilsēta vai studentu pilsēta (paziņojums ar patiesu vērtību)

3. Ietekme

Secinājums ir divi jautājumi p un q, kas ir teikti teikuma formā "ja p tad q". To apzīmē ar p -> q.

Piemērs:

p: Atha ir centīgs mācībās (apgalvojums ar patiesu vērtību)

q: Atā izturēja izcilu punktu skaitu (patiesās vērtības paziņojums)

p-> q: Ja Atā ir centīga mācībās, tad Atā izturēs izcilu rezultātu (apgalvojums ir patiess)

4. Biimplikācijas

Biimplikācija ir salikts apgalvojums, kas izteikts teikuma "... tikai un vienīgi tad" formā. To apzīmē ar pq, lasiet "p tikai tad, ja q".

Piemērs:

p: 1 + 1 = 2 (apgalvojums ir patiess)

q: 2 ir nepāra skaitlis (nepatiesa informācija)

pq: 1 + 1 = 2 tikai tad, ja 2 ir nepāra skaitlis (nepatiesas vērtības paziņojums)